深呼吸。当你的肺膨胀时，空气中充满了5亿个肺泡，每个都在一毫米以内。当你呼气时，这数百万次微小的呼吸毫不费力地通过越来越大的呼吸道融合成一次终极呼吸。

这些气道是分形的。

分形是一种数学工具，用来描述物体在每个尺度上的细节。像我这样的数学家和物理学家用分形和相关概念来理解事物是如何从小到大发展的。

当我们思考我们的选择如何影响世界时，你和我在不同的尺度之间转换。这杯拿铁有助于应对气候变化吗？我应该在这次选举中投票吗？

这些概念工具适用于身体以及景观、自然灾害和社会。

分形无处不在。

1967年，数学家伯努瓦曼德尔布罗问：“英国海岸有多长？”

这是一个棘手的问题。答案取决于你如何衡量它。如果你在地图上描出轮廓，就会得到答案，但如果你拿着米尺沿着海岸线走，结果就会大不相同。任何试图从地图上估计崎岖徒步路线长度的人都知道大尺寸照片的背叛。

这是因为肺、英国海岸线和徒步旅行路线都有分形：它们的长度、分支数量或其他数字取决于你用来测量它们的尺度或分辨率。

海岸线也是自相似的——它是由自己的较小副本组成的。蕨类植物的叶子，树木，蜗牛壳，风景，山脉和河流网络的轮廓看起来都像自己的小版本。

这就是为什么当你在看风景的航拍照片时，往往很难判断比例尺是50公里还是500米。

你的肺是自相似的，因为你的身体以精确的比例精细地校准每个分支，使每个分支成为前一个分支的较小复制品。这种模块化设计使肺在任何尺寸下都有效。想想一个孩子和一个成年人，或者一只老鼠或一条鲸鱼。小和大的唯一区别是气道分支的数量。

自相似性和分形出现在艺术和建筑中，罗马渡槽拱门中的拱门和哥特式教堂的尖顶反映了森林的树冠。就连中国古代书法家怀素、颜真卿，也在722年劈开了漏屋的夏云、墙缝、水渍。

比例不变性

自相似物体具有尺度不变性。换句话说，不管它们有多大，比如肺效率，都会建立一些属性。

事实上，尺度不变性是通过描述不变的内容来描述尺度之间的变化。

达芬奇观察到，当分支分支时，所有分支的总横截面积都被保留了下来。换句话说，从树干到树枝，树枝的数量和直径随着每根树枝而变化，但所有绑在一起的树枝的总厚度保持不变。

达芬奇的观察意味着尺度不变性：对于每个有一定半径的分支，下游有四个分支，半径就是半径。

地震频率具有类似的尺度不变性，这是在20世纪40年代观察到的。人们首先想到的是1755年的里斯本和1989年的旧金山——但加州每天都会发生许多小地震。古腾堡-里特尔定律说，地震的频率取决于地震的震级。答案很简单。十倍的地震率大约是十分之一。

社会和权力法。

以80/20法则商学院闻名的19世纪经济学家维里弗雷多帕累托(Vilifredo Pareto)观察到，拥有一定财富的家庭数量与他们的财富成反比，财富增加到某些指数。帕累托测量了不同年份和国家的指数，发现通常在1.5左右。

帕累托的财富分配后来被称为幂律，表面上是因为指数或“权力”。

任何自相似的事物都有相应的幂律。在4月份的一篇论文中，我和同事描述了肺、血管和树的相应幂律。与帕累托幂律不同，它只考虑分支之间的具体比例。

然后，命运的大小类似于树枝或血管的大小——一些树干或树枝和更小的树枝。

帕累托认为他把财富分配视为自然规律，但许多不同的社会组织模式产生了帕累托分配，社会上的财富不平等存在差异。帕累托指数越高，社会越平等。

从理解人类是如何由微小的细胞组成，到我们如何影响地球，自相似性、分形和尺度不变性通常有助于从一个组织层面向另一个组织层面转变。会话

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